Týdeník věnovaný aktualitám a novinkám z fyziky a astronomie. Vydavatel: AGA (Aldebaran Group for Astrophysics) Číslo 23 – vyšlo 14. července, ročník 15 (2017) © Copyright Aldebaran Group for Astrophysics Publikování nebo šíření obsahu je zakázáno. ISSN: 1214-1674, Email: bulletin@aldebaran.cz

23/2017

Cválající Gertruda aneb když padá most

Petr Kulhánek

Krásné a elegantní visuté mosty se nezřídka stávají dominantou údolí a zálivů a jsou nejen funkčním dopravním řešením, ale i lákadlem turistů. K nejznámějším mostům tohoto druhu patří Golden Gate (Zlatá brána) v San Francisku, který je dlouhý 2,7 kilometru a na jehož mostovku se vejde šestiproudá dálnice. Jeho dva pilíře jsou vzdáleny 1 280 metrů. Postaven byl mezi lety 1933 až 1937. Do roku 1964 byl visutým mostem s nejdelším rozpětím (vzdáleností mezi pilíři) na světě. Dnes je na devátém místě a prvenství zaujímá most Akaši-Kaikjó přes japonskou úžinu Akaši, jehož rozpětí je 1 991 metrů. Dovednost postavit visutý most byla vykoupena řadou pokusů a omylů. Jen v 19. století spadlo devět těchto krasavců, poslední z nich v roce 1889. Následovalo půl století (51 let) staveb nadčasových visutých mostů, jejichž krásu obdivujeme dodnes. Možná byli stavitelé ukolébáni tímto úspěchem a jejich odvaha překročila únosnou mez. Přišel rok 1940 a pád mostu Tacoma Narrows, který měl těžké problémy už při samotné stavbě a nechtěně se zapsal do dějin architektury, stavitelství i fyziky.

Slavnostní otevření mostu Tacoma Narrows dne 1. července 1940

most	místo	návrh	rozpětí	pád
Dryburgh	Skotsko	John a William Smith	79 m	1818
Nassau	Německo	–.	75 m	1834
Brighton	Anglie	sir Samuel Brown	78 m	1836
Montrose	Skotsko	sir Samuel Brown	132 m	1838
Menai	Wakes	Thomas Telford	177 m	1839
Roche	Francie	P. Leblanc	195 m	1852
Wheeling	USA	Charles Ellet	307 m	1854
Niagara	USA	Edward Serrell	317 m	1864
Niagara	USA	Samuel Keefer	384 m	1889
Tacoma	USA	Leon Moisseiff	854 m	1940

Cválající Gertruda

Most Tacoma Narrows měl spojit město Tacoma (volně navazuje na jihu na americký Seattle) s obcemi na Kitsapově poloostrově. Překlenout měl zhruba kilometr širokou úžinu v Pugetově zálivu. První projekt vypracoval inženýr Clark Eldridge. Navrhl typický zavěšený most robustní konstrukce s výstuhami pod mostovkou o výšce 7,5 metru. V této koncepci šlo o minimalizaci plochy vystavené bočním větrným rázům, kdy stabilita byla zajištěna dvěma paralelními mostovkami propojenými příhradovou konstrukcí, kterou mohl vítr volně procházet. Takto lze dosáhnout toho, že na závětrné straně dochází k minimální turbulenci. Odhad ceny takového mostu se vyšplhal na 11 milionů amerických dolarů, což se zdálo tehdejším radním příliš. Proto zvítězil další návrh, jehož autorem byl inženýr Leon Moisseiff. Ubral na robustnosti mostu a jeho vzhled přiblížil eleganci mostu Golden Gate v San Francisku. Klasickou stabilizaci mostovky řešenou dvěma propojenými štíhlými konstrukcemi nahradil jednou mostovkou vybavenou na okrajích dvěma svislými ztužujícími rámy o výšce 2,4 metru. Cena se snížila na 6 milionů dolarů, což bylo pro rozhodování o stavbě nejpodstatnější.

Uchycení mostovky vedlo u Tacoma Narrows k rozdělení větru do dvou větví
a ke vzniku vírů nad a pod mostovkou.

Se stavbou mostu se započalo 27. září 1938. Počítalo se pouze s dvěma jízdními pruhy, proto byl most velmi úzký, vozovka měla pouze 11,8 metrů, rozpětí mezi pilíři bylo 854 metrů, tj. poměr rozpětí a šířky činil 72:1, poměr rozpětí a tloušťky mostovky byl dokonce 320:1. U jiných mostů jsou tato čísla výrazně nižší (druhý z poměrů bývá například 50 až 90 : 1). Tak dlouhý most (vzhledem ke své šířce a k tloušťce mostovky) je náchylný k nejrůznějším kmitům. Již při stavbě se ukázalo, že most je v podélné rezonanci, tj. dochází ke svislým výkyvům vozovky, při nichž je vzdálenost mezi pilíři násobkem poloviny vlnové délky. Zkrátka v místě pilířů vznikne uzel vlny a mezi nimi jedna nebo více kmiten. Dělníci byli zaskočeni tím, že i při zcela mírném větru se mostovka kývala dolů a nahoru, proto začali mostu říkat Cválající Gertruda (Galloping Gertie). Šlo o pojmenování podle dinosauřice Gertie z filmu Gertie the Dinosaur (1914). Situace vyžadovala neodkladné řešení. Profesor Frederick Farquharson, odborník na podobnostní simulace z Washingtonské univerzity prováděl experimenty se zmenšeným modelem mostu v aerodynamickém tunelu. Při většině simulací vznikaly „jen“ příčné kmity, ale tu a tam se objevily i torzní oscilace kroutící mostovku. Profesor Farquharson správně předpověděl, že pokud by se podobné oscilace objevily u skutečného mostu, znamenalo by to jeho zkázu. Jakýmkoli oscilacím bylo třeba zabránit, proto byla učiněna řada pokusů o stabilizaci mostu. Byly přidány další kabely kotvící most směrem dolů (připevněné byly k padesátitunovým betonovým blokům). Kabely ale zakrátko praskly. Byly přidány šikmé úchyty spojující hlavní kabely se středem vozovky, byly namontovány hydraulické tlumiče oscilací, ale bohužel nic z toho nepomohlo. Most byl i přes obrovské problémy zprovozněn pro veřejnost dne 1. července 1940. Stal se třetím nejdelším visutým mostem na světě (1. Golden Gate, San Francisco, 2. Most George Washingtona, New York). A samozřejmě se již při slavnostním otevření opět objevily příčné kmity vozovky – Gertruda si cválala vesele dál.

Události ze 7. listopadu 1940

Od rána vál středně silný vítr o rychlosti 56 kilometrů za hodinu. Objevily se známé kmity mostu o amplitudě až 45 centimetrů. Profesor Farquharson přijel k mostu na pravidelnou prohlídku v 9:15. O půl hodiny později se namísto obvyklého kývání mostu objevily i malé torzní kmity. Vítr nebyl zpočátku nijak silný, rozhodně byl pomalejší než v jiné dny. V říjnu most bez problému odolal větru o rychlostí 80 kilometrů za hodinu. Po tříhodinovém foukání vítr zesílil a jeho rychlost dosáhla 67 kilometrů za hodinu. Most byl uzavřen. V deset hodin se sesmekl jeden z kabelů a narušení symetrie v rozložení sil vedlo k výraznému zesílení torzních kmitů. Na mostovce nechtěně zůstal reportér deníku Tacoma News Tribune pan Leonard Coatsworth. Jeho auto bylo jedním z kmitů odhozeno stranou. Coatsworth vylezl z auta a byl odmrštěn na obrubník. V autě zůstal kokršpaněl jeho dcery, proto se pokusil i přes zranění k autu vrátit a zachránit ho, ale dalším kmitem byl odmrštěn pryč. Po kolenou a rukou se zakrvácený nakonec odplazil do bezpečí, odkud pak z mostu utekl těsně před jeho pádem. Pes zemřel při zřícení mostu a stal se jedinou obětí katastrofy. Před samotným pádem byl na mostě už jen jediný člověk – profesor Farquharson, který celou děsivou scénu natáčel a fotografoval. Jak se ukázalo při pozdějších analýzách, torzní kmity vytvářely kolem mostovky víry, které tyto kmity dále zesilovaly. Vozovka se z vodorovného směru vychylovala až o 45°. Kladná zpětná vazba vedla k prasknutí nosných kabelů kolem jedenácté hodiny a k následnému zřícení podstatné části mostovky.

Příčný a torzní mod kmitů Cválající Gertrudy v den pádu. Zdroj: J. V. A. Mendoza.

Záběry z pádu mostu. Zdroj: Pathe Gazette.

Trocha fyziky

Na podivném chování mostu Tacoma Narrows se podílely nejméně tři fyzikální jevy. Prvním z nich je klasická rezonance. Velmi tenká mostovka bez jakýchkoli výztuh byla schopná se celkem snadno rozkmitat ve svislém směru. Byla podepřena pouze vodorovným nosníkem v místě pilířů, zbytek visel na lanech. V místech podepření vznikaly uzly (nepohybující se místa) stojatého vlnění. Místo maximální amplitudy se nazývá kmitna. Základní mod kmitů měl kmitnu přesně v polovině mezi pilíři. Při provozu vznikaly ale i vyšší harmonické, tj. několik kmiten mezi pilíři. V den pádu mostu byla amplituda těchto kmitů zhruba 40 centimetrů, frekvence 36 oscilací za minutu (0,6 hertzu). Obdobné kmity zažil most za 4 měsíce provozu mnohokrát a toto rezonanční chování bylo sice velmi nepříjemné, ale nemohlo způsobit pád mostu.

Druhým jevem je vznik vírů za překážkou. Pokud obtéká překážku proud vzduchu, vzniká za ní opakující se struktura vírů (někdy se jí říká Kármánova vírová stezka). Tento proces je škálovatelný a vzniká pro různě velké překážky i rychlosti větru. Součin rozměru překážky a frekvence vírů vznikajících za překážkou je úměrný rychlosti větru, tj. číslo

#_S = Df / v

je zhruba konstantní. Ve vztahu označuje D rozměr překážky, f frekvenci vznikajících vírů a v rychlost proudění média kolem překážky. Tato konstanta závisí jen na geometrii překážky a nazývá se Strouhalovo číslo. Konstantu zavedl český fyzik a inženýr Vincenc Strouhal (1850–1922) v roce 1878. Pro most Tacoma Narrows měla Strouhalova konstanta zhruba hodnotu 0,1. Právě podobnost na různých škálách umožňuje dělat experimenty v aerodynamických tunelech. Je-li změna velikosti překážky kompenzována odpovídající změnou rychlosti proudění, vzniknou víry stejné frekvence.

Vznik vírů za překážkou je škálovatelný dle Strouhalova vztahu. Zdroj: Wikipedia.

Přesně takovou překážkou byla pro vítr vanoucí údolím bočnice mostovky, která proudění rozdělila na dvě části (nad a pod mostovkou). U klasického uspořádání mostovky dle obrázku nahoře se nic takového neděje, vítr mostovkou bez problémů projde. Důsledkem toho, že mostovka dělila proudění do dvou částí, byl vznik vírů. Pro podmínky panující před zřícením mostu byla Strouhalova frekvence přibližně 1 hertz. Vzniklé torzní kmity měly ale frekvenci 14 oscilací za minutu, což je 0,2 hertzu. Vzhledem k tomu, že se obě frekvence pětinásobně liší, nemohlo jit o rezonantní chování, při kterém by víry vznikající pod a nad mostovkou kladnou zpětnou vazbou torzně rozkmitávaly mostovku do stále větších a větších výchylek. Víry přispěly ke vzniku torzních kmitů, možná byly dokonce jejich prvotní příčinou, ale nebyly oním zesilujícím faktorem, který vedl ke zřícení mostu.

Třetím jevem byla geneze vírů způsobená samotnými torzními kmity. Mostovka otáčející se kolem podélné osy sem a tam způsobuje proudění vzdušných mas, které opět vytváří charakteristické víry. Při podrobné analýze se ukázalo, že právě víry související s torzními kmity mostovky byly pro konstrukci osudné. Mostovka vytvářela víry (k tomu už nepotřebovala silný vítr, ten by klidně mohl výrazně snížit rychlost) a tyto víry dále torzně rozkmitávaly mostovku až do oblasti její pevnosti a pevnosti závěsných lan.

Torzní kmity generující samy sebe. Otáčení mostovky vytváří víry, které způsobují takové silové poměry, jež otáčení podporují. Dochází ke kladné zpětné vazbě vedoucí k destrukci mostu. Zdroj: Washington State Department of Transportation.

A co bylo dál?

Most spadl a naštěstí nikdo z lidí nepřišel o život. Nicméně v oněch místech byl most velmi potřebný, proto se v zápětí začalo uvažovat o stavbě mostu nového. V říjnu 1950 byl zprovozněn most, který se vrátil ke konceptu klasické mostovky se vzpěrami. Byl výrazně robustnější než jeho předchůdce a dokonce o 12 metrů delší. Most získal přezdívku Macatá Gertruda (Sturdy Gertie). Do roku 2007 zajišťoval dopravu oběma směry. V roce 2002 začala stavba druhého mostu přes úžinu. Ten byl zprovozněn v roce 2007. Nyní každý z mostů slouží pro dopravu v jednom směru.

Současné mosty Tacoma Narrows. V pozadí je starší most z roku 1950, v popředí
 novější most z roku 2007. Oba mosty mají vyztuženou mostovku klasického typu.

Odkazy