Týdeník věnovaný aktualitám a novinkám z fyziky a astronomie. Vydavatel: AGA (Aldebaran Group for Astrophysics) Číslo 45 – vyšlo 25. listopadu, ročník 9 (2011) © Copyright Aldebaran Group for Astrophysics Publikování nebo šíření obsahu je zakázáno. ISSN: 1214-1674, Email: bulletin@aldebaran.cz

45/2011

Gravitace II – holografický princip

Petr Kulhánek

Souvislost mezi gravitací a termodynamikou poprvé ukázal izraelský teoretik Jacob Bekenstein na myšlenkovém pokusu s černou dírouČerná díra – objekt, který kolem sebe zakřiví čas a prostor natolik, že z něho nemůže uniknout ani světlo. Část z nich vzniká kolapsem hvězdy v zá­vě­reč­ných fázích vývoje. Druhou skupinu tvoří obří černé díry sídlící v centrech galaxií. Rotující černé díry kolem sebe vytvářejí akreční disky látky a v ose rotace výtrysky vysoce urychlených částic. Paradoxně akreční disky i výtrysky, vznikající v bezprostředním okolí černé díry, velmi intenzivně vyzařují.. Otevřel tak zcela nový vědní obor – termodynamiku černých děr. Výsledkem těchto úvah bylo nejenom známé Hawkingovo vypařování, ale zejména holografický princip, který dává do souvislosti informace obsažené na povrchu nějaké oblasti s děním uvnitř oblasti. V dnešním díle této trilogie se seznámíme podrobněji s holografickým principem a jeho významem.

Hologram umožňuje rekonstrukci 3D objektu
z 2D záznamu intenzity a fáze světla.

Teplota absolutní – míra neuspořádaného pohybu v látce. Stav látky s absolutní nulou znamená stav s minimálním množstvím pohybu, které umožní zákony kvantové teorie (s minimální entropií). Absolutní nuly nelze dosáhnout konečným počtem procesů, lze se jí ale libovolně přiblížit. Absolutní teplota se měří v kelvinech. Jeden stupeň kelvina je roven jednomu stupni Celsia. Kelvinova stupnice má jiný počátek než Celsiova stupnice, 0 K = −273,15 °C. Entropie – v termodynamice je definována vztahem dS = dQ/T, kde dQ je diferenciál tepla a T je absolutní teplota (1/T je integrační faktor). Takto zavedená entropie je na rozdíl od tepla úplným diferenciálem, její integrál nezávisí na cestě ve stavovém prostoru. Ve statistice má entropie význam logaritmické míry pravděpodobnosti realizace stavu, v kvantové teorii je logaritmickou mírou počtu kvantových stavů, kterými lze daný makroskopický stav realizovat. Entropie tak souvisí s „množstvím chaosu“ v systému. V informatice entropie popisuje množství informací. V uzavřeném systému může entropie jen růst. V termodynamické rovnováze dosáhne svého maxima. Informace – veličina, která má různý význam v různých oborech. V technických vědách znamená zprávu zapsanou jako uspořádaný řetězec symbolů. Nejmenší informací je jeden bit odpovídající zápisu dvoustavové veličiny (0/1, ano/ne atd.). Ve fyzice může jít o cokoli, co je schopno ovlivnit stav systému. Informaci lze přenášet za pomoci vln nebo jiných signálů. Logaritmickou mírou informace obsažené v látce je entropie. Holografie – forma záznamu obrazu, která umožňuje zachytit jeho trojrozměrnou strukturu na dvourozměrný obrazový nosič neboli hologram (fotografická deska, binární záznam) a jeho opětovnou rekonstrukci. Na hologram se zaznamenává jak intenzita, tak fáze světla. Holografii objevil Dennis Gabor v roce 1948, kvalitní hologramy byly ale pořízeny až po objevu laseru. V elektronovém mikroskopu lze pořídit elektronový hologram, v němž je zaznamenáno jak množství elektronů prošlých vzorkem, tak fáze jejich hmotové vlny. Fáze elektronových vln je citlivá na magnetické pole, proto je možné z elektronového hologramu určit průběh magnetických siločar ve vzorku.

Od Bekensteinova výtahu k Hawkingovu vypařování

Popišme si nyní jednu z variant Bekensteinova experimentu, která poněkud připomíná Cimrmanův výtah s dělníky v ostravském dole. Mějme v blízkosti černé díry dvě kabinky spojené lankem (viz Obr. 1). Vzdálenější kabinku naplníme fotonyFoton – základní kvantum energie elektromagnetického záření, polní částice elektromagnetické interakce. Má nulovou klidovou hmotnost a nemá elektrický náboj. Jeho energie a hybnost jsou přímo úměrné frekvenci záření (E = ħω, p = E/c). Stav fotonu zahrnuje také polarizaci, protože jde o příčné vlnění. Kvantování energie poprvé zavedl Max Planck při pokusech o vysvětlení záření černého tělesa. Albert Einstein dal těmto kvantům reálný význam v roce 1905 při vysvětlení fotoelektrického jevu. Samotný název foton poprvé pro tuto částici použil až americký fyzikální chemik Gilbert Lewis v dopise časopisu Nature z roku 1926. (elektromagnetickým zářením) o teplotě T. Tato kabinka je těžší a černá díraČerná díra – objekt, který kolem sebe zakřiví čas a prostor natolik, že z něho nemůže uniknout ani světlo. Část z nich vzniká kolapsem hvězdy v zá­vě­reč­ných fázích vývoje. Druhou skupinu tvoří obří černé díry sídlící v centrech galaxií. Rotující černé díry kolem sebe vytvářejí akreční disky látky a v ose rotace výtrysky vysoce urychlených částic. Paradoxně akreční disky i výtrysky, vznikající v bezprostředním okolí černé díry, velmi intenzivně vyzařují. ji přitáhne. V blízkosti horizontu černé díry otevřeme spodní část kabinky a fotony se vysypou do černé díry. Dolní kabinka zůstane prázdná. Mezitím naplníme horní kabinku fotony a celý děj se opakuje. Plná kabinka sjede k horizontu, vyprázdníme ji atd. Nepochybně bychom nějak museli ošetřit technické detaily experimentu, například se zabývat tím, jak moc se můžeme přiblížit k horizontu, aby se kabinka ještě mohla vrátit. Detailní výpočet nalezne čtenář v [5].

Celý experiment je z hlediska termodynamiky tepelným strojem. Jde o vratný děj Carnotova typu, ve kterém roli ohřívače (kotle) plní horní kabinka se zářením o teplotě T. Každý cyklicky pracující tepelný stroj musí mít chladič o teplotě T₀ < Т. Roli chladiče má v tomto experimentu horizont černé díry, do kterého hážeme nepotřebné fotony. Bekenstein určil z Carnotovy věty o účinnosti tepelného stroje teplotu tohoto chladiče a tedy teplotu horizontu černé díry. Vyšlo mu (h je stará Planckova konstanta h = 2πħ, c je rychlost světla ve vakuu, k_B je Boltzmannova konstanta a R_g je velikost Schwarzschildova poloměru):

T0 = hc/kBRg.

(3)

Obr. 1. Jedna z variant Bekensteinova myšlenkového experimentu.

Obr. 2. Jacob Bekenstein (1947), izraelský teoretický fyzik.

Bekensteinův myšlenkový experiment historicky poprvé dává do souvislosti gravitaciGravitační interakce – interakce působící na všechny částice bez výjimky. Má nekonečný dosah a její intenzita ubývá s kvadrátem vzdálenosti. Současnou teorií gravitace je obecná relativita publikovaná Albertem Einsteinem v roce 1915. Podle této teorie kolem sebe každé těleso zakřivuje prostor a čas a v tomto pokřiveném světě se tělesa pohybují po nejrovnějších možných drahách, tzv. geodetikách. Obecná relativita předpověděla řadu jevů, které z Newtonovy teorie gravitace nevyplývají. (v její nejextrémnější podobě – černé dířeČerná díra – objekt, který kolem sebe zakřiví čas a prostor natolik, že z něho nemůže uniknout ani světlo. Část z nich vzniká kolapsem hvězdy v zá­vě­reč­ných fázích vývoje. Druhou skupinu tvoří obří černé díry sídlící v centrech galaxií. Rotující černé díry kolem sebe vytvářejí akreční disky látky a v ose rotace výtrysky vysoce urychlených částic. Paradoxně akreční disky i výtrysky, vznikající v bezprostředním okolí černé díry, velmi intenzivně vyzařují.) s termodynamikou [1]. Experiment samozřejmě přináší celou řadu otázek, z nichž k těm stěžejním patří: „Má vůbec nějaký hlubší smysl přiřadit horizontu černé díry teplotu? Neměla by potom černá díra, jako každé těleso, zářit tepelným zářením?“ Odpověď na sebe nenechala dlouho čekat. Již po dvou letech publikuje v roce 1975 Stephen Hawking práci [3], ve které ukazuje, že pokud vezme v úvahu kvantové jevy, bude skutečně černá díra tepelně zářit na Bekensteinově teplotě. Jev můžeme buď chápat jako kvantové tunelování z oblastí pod horizontem nebo jako kreaci páru částice-antičásticeAntičástice – částice, u které mají všechna kvantová čísla (elektrický náboj, barevný náboj, vůně atd.) opačné znaménko oproti běžné částici. v blízkosti horizontu černé díry, při kterém antičástice se zápornou hmotou (jde o virtuální páry jejichž celková hmotnost musí dát navenek nulu) končí pod horizontem, a zbývající částice se jakoby vynoří v blízkosti horizontu (viz Obr. 3). Jevu se říká Hawkingovo vypařování černé díry. Vlnová délka maxima vyzařování je řádově rovna Schwarzschildovu poloměru. Čím menší je černá díra, tím vyšší má Bekensteinovu teplotu a tím intenzivněji září (se zmenšujícími se rozměry částice snadněji tunelují ven). Konec vypařování černé díry by tak mohl mít charakter exploze [2].

Obr. 3. Hawkingovo vypařování znázorněné za pomoci kreace
a anihilace virtuálních párů částice-antiočástice.

Objekt	M	Rg	ρ	T	Δt
proton	1,7×10–27 kg	10–54 m	10130 g/cm3	1051 K	10–102 s
kámen	1 kg	10–27 m	1076 g/cm3	1024 K	10–21 s
Země	6×1024 kg	9 mm	1027 g/cm3	1 K	1046 let
Slunce	2×1030 kg	3 km	1016 g/cm3	10–7 K	1062 let
gal. jádro	108 MS	2 AU	1,82 g/cm3	10–14 K	1086 let

Parametry černé díry vzniklé z daného objektu. Bekensteinova teplota je pro makroskopické objekty mimořádně malá. V jednotlivých sloupcích je: hmotnost, Schwarzschildův poloměr, hustota, Bekensteinova teplota, doba potřebná k odpaření celé černé díry.

Princip maximální entropie

Představme si nějakou prostorovou oblast, třeba kulového tvaru, do které budeme odkládat stále větší a větší množství látky. Množství informaceInformace – veličina, která má různý význam v různých oborech. V technických vědách znamená zprávu zapsanou jako uspořádaný řetězec symbolů. Nejmenší informací je jeden bit odpovídající zápisu dvoustavové veličiny (0/1, ano/ne atd.). Ve fyzice může jít o cokoli, co je schopno ovlivnit stav systému. Informaci lze přenášet za pomoci vln nebo jiných signálů. Logaritmickou mírou informace obsažené v látce je entropie. uvnitř oblasti roste a s ním roste i entropieEntropie – v termodynamice je definována vztahem dS = dQ/T, kde dQ je diferenciál tepla a T je absolutní teplota (1/T je integrační faktor). Takto zavedená entropie je na rozdíl od tepla úplným diferenciálem, její integrál nezávisí na cestě ve stavovém prostoru. Ve statistice má entropie význam logaritmické míry pravděpodobnosti realizace stavu, v kvantové teorii je logaritmickou mírou počtu kvantových stavů, kterými lze daný makroskopický stav realizovat. Entropie tak souvisí s „množstvím chaosu“ v systému. V informatice entropie popisuje množství informací. V uzavřeném systému může entropie jen růst. V termodynamické rovnováze dosáhne svého maxima. oblasti. Uvedenou proceduru nelze ale opakovat donekonečna. V určitém okamžiku množství hmoty v oblasti překročí kritickou mez a oblast se stane černou dírou. Existuje tedy maximální entropie, kterou je možné do dané oblasti „uskladnit“. Tomuto tvrzení se říká princip maximální entropie. Z principu maximální entropie plyne zajímavá skutečnost. Víme, že látka je složená z atomů, atomy z jader a obalů, jádra z neutronůNeutron – částice složená ze tří kvarků (ddu) se spinem 1/2, hmotností 1,675×10⁻²⁷ kg (940 MeV) a nulovým elektrickým nábojem. Volné neutrony jsou nestabilní se střední dobou života 886 s (15 minut) a poločasem rozpadu 10 minut. V roce 1930 Walther Bothe a Herbert Becke ostřelovali lehké prvky alfa částicemi a objevili nový druh pronikavého záření. V roce 1932 zjistil James Chadwick, že je toto záření složeno z neutrálních částic přibližné velikosti protonu a objevil tak neutron. a protonůProton – částice složená ze tří kvarků (duu) se spinem 1/2, hmotností 1,673×10⁻²⁷ kg (938 MeV) a elektrickým nábojem +1,6×10⁻¹⁹ C. Proton je na běžných časových škálách stabilní, pokud se rozpadá, je poločas rozpadu větší než 10³⁵ let. Za objevitele protonu je považován Ernest Rutherford, který v roce 1911 objevil atomové jádro při analýze rozptylu částice alfa pronikající tenkou zlatou fólií. Samotná jádra vodíku (protony) detekoval v roce 1918 při ostřelování dusíku částicemi alfa. Antiproton byl objeven v roce 1955 Emilio Segrem a Owenem Chamberlainem., neutrony a protony z kvarkůKvarky – částice, ze kterých jsou tvořeny těžké částice s vnitřní strukturou (hadrony). Hadrony dělíme na baryony složené ze tří kvarků (například protony a neutrony) a na mezony tvořené kvarkem a antikvarkem (například piony). Kvarky se dělí do tří generací, první tvoří kvarky „d“ (down) a „u“ (up), druhou kvarky „s“ (strange) a „c“ (charm) a třetí kvarky „b“ (bottom nebo beauty) a „t“ (top nebo truth). Kvarky mají neceločíselné (třetinové a dvoutřetinové) elektrické náboje. Jsou také nositeli barevného náboje silné interakce.. Tato hierarchie nemůže jít do nekonečna, jinak by entropie každým dělením vzrostla a celková entropie konkrétní konečné oblasti složené z částic by byla nekonečná. Pokud je princip maxima entropie správný, plyne z něho, že existuje určitá poslední hranice dělení elementárních částic na subčástice, za kterou z principiálních důvodů není možné jít.

Jinou otázkou je, co se stane s entropií oblasti, když se promění v černou dírouČerná díra – objekt, který kolem sebe zakřiví čas a prostor natolik, že z něho nemůže uniknout ani světlo. Část z nich vzniká kolapsem hvězdy v zá­vě­reč­ných fázích vývoje. Druhou skupinu tvoří obří černé díry sídlící v centrech galaxií. Rotující černé díry kolem sebe vytvářejí akreční disky látky a v ose rotace výtrysky vysoce urychlených částic. Paradoxně akreční disky i výtrysky, vznikající v bezprostředním okolí černé díry, velmi intenzivně vyzařují.. Pokud by entropie zmizela, odporovalo by to druhé větě termodynamické, podle které může entropie uzavřeného systému jen růst. Od Bekensteinových a Hawkingových úvah je k řešení jen krůček. Entropie je podobně jako teplota lokalizovaná na horizontu černé díry. Toto řešení navrhnul již Stephen Hawking při svých úvahách o termodynamice černých děr. Právě z termodynamických úvah je možné najít vztah pro entropii černé díry (A je plocha povrchu černé díry):

S = πAkBc3/2hG.

(4)

Jenže entropie souvisí s informací, a tak okamžitě vzniká další otázka: Jak může být informace uložena na povrchu (horizontu) černé díry? Možné řešení ukázali Gerard t’ Hooft a Leonard Susskind v roce 1994. Představme si černou díru, ze které unikají fotony i jiné částice mechanizmem Hawkingova vypařování. Fotony mají tepelné spektrum. Černá díra se vypařováním velmi pomalu zmenšuje a v daleké budoucnosti zcela zanikne. Tomu můžeme zabránit – zajistíme zvenku přísun fotonů do černé díry tak, abychom dosáhli rovnovážného stavu. Hmota unikající z černé díry vypařováním je kompenzována fotony (předpokládejme, že monoenergetickými, tj. jedné konkrétní vlnové délky), které posíláme do černé díry. Vytvořili jsme tak velmi absurdní stroj. Trvale do něho hážeme fotony o jedné jediné energii a ven vylétávají fotony s tepelným spektrem. Tomuto paradoxu říkáme informační paradox. Jeho řešení je asi i řešením otázky lokalizace entropie černé díry. FotonFoton – základní kvantum energie elektromagnetického záření, polní částice elektromagnetické interakce. Má nulovou klidovou hmotnost a nemá elektrický náboj. Jeho energie a hybnost jsou přímo úměrné frekvenci záření (E = ħω, p = E/c). Stav fotonu zahrnuje také polarizaci, protože jde o příčné vlnění. Kvantování energie poprvé zavedl Max Planck při pokusech o vysvětlení záření černého tělesa. Albert Einstein dal těmto kvantům reálný význam v roce 1905 při vysvětlení fotoelektrického jevu. Samotný název foton poprvé pro tuto částici použil až americký fyzikální chemik Gilbert Lewis v dopise časopisu Nature z roku 1926., který přilétá do černé díry má energii, tudíž i hmotnost, která způsobí lokální vzdutí horizontu. Fotony vylétávající v místě vzdutí už nebudou tepelné. Navíc každý z nich také zdeformuje horizont. Horizont černé díry tak nebude vůbec sférický, ale plný nejrůznějších fluktuací způsobených kombinací gravitačních a kvantových jevů. Právě tyto fluktuace by mohly být nositelem informace na povrchu černé díry.

Obr. 4. Fluktuace horizontu černé díry by se měly odehrávat především na
Planckově škálePlanckovy škály – charakteristické rozměry získané kombinací fundamentálních konstant (gravitační, Planckovy a rychlosti světla). Planckova délka vychází 10⁻³⁵ m, Planckův čas 10⁻⁴³ s, Planckova hmotnost 10⁻⁸ kg a Planckova energie 10¹⁹ GeV.. Možná jsou nositelem informace a entropie lokalizované na povrchu
černé díry. Zdroj Russtifer.

Holografický princip

Ze vztahu (4) i z předchozích úvah plyne, že entropieEntropie – v termodynamice je definována vztahem dS = dQ/T, kde dQ je diferenciál tepla a T je absolutní teplota (1/T je integrační faktor). Takto zavedená entropie je na rozdíl od tepla úplným diferenciálem, její integrál nezávisí na cestě ve stavovém prostoru. Ve statistice má entropie význam logaritmické míry pravděpodobnosti realizace stavu, v kvantové teorii je logaritmickou mírou počtu kvantových stavů, kterými lze daný makroskopický stav realizovat. Entropie tak souvisí s „množstvím chaosu“ v systému. V informatice entropie popisuje množství informací. V uzavřeném systému může entropie jen růst. V termodynamické rovnováze dosáhne svého maxima. a informaceInformace – veličina, která má různý význam v různých oborech. V technických vědách znamená zprávu zapsanou jako uspořádaný řetězec symbolů. Nejmenší informací je jeden bit odpovídající zápisu dvoustavové veličiny (0/1, ano/ne atd.). Ve fyzice může jít o cokoli, co je schopno ovlivnit stav systému. Informaci lze přenášet za pomoci vln nebo jiných signálů. Logaritmickou mírou informace obsažené v látce je entropie. jsou lokalizovány na povrchu černé díry. To je poněkud zvláštní, uvědomíme-li si, že entropie je extenzivní neboli aditivní veličina a za normálních okolností roste s  počtem částic a tedy s objemem, nikoli s plochou. V případě černé je veškerá informace o látce v nitru černé díry lokalizována na jejím povrchu. Jde o jednu z mnoha variant holografického principu, podle kterého může být informace o N-dimenzionální oblasti zakódována na N–k rozměrném holografickém plátně (hologramu, chcete-li), v našem případě horizontu černé díry. Obdobná situace je známa v matematice, v teorii komplexní proměnné. Má-li komplexní funkce komplexní proměnné v určité oblasti komplexní derivaci (říkáme, že je holomorfní), postačí znát hodnoty této funkce na hranici oblasti a hodnoty uvnitř už jsou jimi určeny.

Platí holografický princip jen pro komplexní proměnnou v matematice a černé díry ve fyzice nebo jde o hlubší princip, na který jsme náhodou přišli při studiu termodynamiky černých děr? Mnoho vědců věří, že holografický princip je jedním z nejzákladnějších přírodních zákonů. Počet dimenzí modelu nemusí být příliš důležitý, protože problém lze převést na jinou úlohu na množině s menším počtem dimenzí. Lze například ukázat, že za určitých předpokladů je model homogenního a symetrického vesmíru s gravitační interakcí a zápornou křivostí ekvivalentní kvantové teorii pole bez gravitace na hranici této oblasti.

Formulací holografického principu je velké množství a pro naše účely nejsou jednotlivé nuance důležité. Holografický princip je v tuto chvíli stále nepotvrzenou hypotézou. Pokud by měl platit pro vesmír jako celek, není zcela jasné, kam umístit holografické projekční plátno, na němž by byla lokalizována veškerá informace o celém vesmíru. Možná by šel nějak využít stále se rozpínající horizont viditelného vesmíru, s takovou představou se lze ale jen těžko ztotožnit. Na druhé straně měřítkové škály, v mikrosvětě, je situace zajímavější. Pokud jsou částice skutečně strunami ve vícerozměrném světě, nevytvářejí v časoprostoru světočáry jako bodové částice, ale světoplochy. Feynmanův diagram interakce dvou strun může vypadat nějak podobně jako na obrázku 5. Právě světoplocha struny by mohla být příslušným holografickým plátnem, na němž je lokalizována veškerá informace o vnitřku struny. Šlo by o přirozenou, nepřekročitelnou hranici, za kterou již není možné z principiálních důvodů jít. V roce 2010 použil Erik Verlinde holografický princip jako jeden ze základních postulátů své teorie gravitace. O tom ale až v posledním díle tohoto miniseriálu.

Je světoplocha struny holografickým plátnem na kterém je lokalizována veškerá informace?
Na obrázku je Feynmanův diagram splynutí dvou strun. Zdroj AGA.

Příště: Verlindovo pojetí gravitace

Animace týdne: Černá díra v jádru galaxie

Černá díra v jádru galaxie. Umělecká vize cesty do jádra galaxie. Nejprve proletíte kolem hvězd ve vnějších oblastech galaxie a vydáte se k jejímu centru, kde sídlí velmi hmotná černá díra. Černá díra je obklopena horkým prachovým torem, který je zobrazen červeně. V těsném okolí je žlutý plynný akreční disk. Plyn se zahřívá vnitřním třením při postupném pádu do černé díry a slouží jako zdroj energie pro centrální galaktický motor. Uvolňovaná energie uniká z černé díry v podobě dvou výtrysků urychlených částic a záření. Pokud se pozorovatel dívá přesně v rovině akrečního disku, může vidět oba výtrysky, pokud výhled nezastíní tlustý prachový torus. Pokud je osa výtrysků skloněná, bude díky relativistickým jevům intenzita vzdalujícího se výtrysku silně potlačena. To, co pozorovatel uvidí tak silně závisí na úhlu pohledu. Zdá se, že celá rodina galaxií s aktivními jádry (linery, blazary, kvazary, Seyfertovy galaxie) jsou jediným druhem objektu nazíraným pod různými pozorovacími úhly. (mpg, 5 MB)

Odkazy