Týdeník věnovaný aktualitám a novinkám z fyziky a astronomie. Vydavatel: AGA (Aldebaran Group for Astrophysics) Číslo 18 – vyšlo 9. června, ročník 21 (2023) © Copyright Aldebaran Group for Astrophysics Publikování nebo šíření obsahu je zakázáno. ISSN: 1214-1674, Email: bulletin@aldebaran.cz

18/2023

Deformace atomových jader

Adam Prášek

Podstatu složení hmoty se snaží lidé zkoumat již od starověku, ale až zhruba posledních sto let je možné skutečně nahlédnout do vnitřní struktury atomů. Příběh jaderné fyziky se začal psát v roce 1911, kdy Ernest Rutherford experimentoval s rozptylem alfa částicAlfa částice – jádro helia, vázaný stav dvou protonů a dvou neutronů. Přirozenou cestou vzniká při alfa rozpadu. Vzhledem k velké vazebné energii jde o vysoce stabilní částici., tedy jader helia, na zlaté folii. Představa atomu v té době byla taková, že se jedná o kladně nabité kontinuum, v němž jsou rozmístěny elektrony jako rozinky v pudinku (proto se tento model přezdívá jako pudinkový model). Tato představa však nemohla vysvětlit Rutherfordovo pozorování, že některé alfa částice se rozptýlí do velkých úhlů – něco, co bychom očekávali spíše při srážce s nějakým velmi malým, ale velmi hmotným, kladně nabitým objektem. Přirozeným vysvětlením tedy bylo to, že atomy mají malé, ale velmi hmotné, kladně nabité jádro.

Umělecká představa jádra křemíku složeného z neutronů a protonů, které se samy skládají ze tří kvarků. Ačkoli jsou atomová jádra na fundamentální úrovni systémy interagujících kvarků, pro nižší energie je lze zkoumat jako systém neutronů a pro­to­nů (slupkový model), nebo dokonce jen jako deformovanou kapku pouze s několika málo stupni volnosti (kolektivní model). Zdroj: SPL. FAA.

Kapkový model jádra – jádro je popisováno na základě analogie s kapkou kapaliny o poloměru přibližně R = 1,2×A1/3 fm. V rámci tohoto jednoduchého modelu dokážeme přibližně určit střední vazbovou energii na jeden nukleon pomocí semiempirické Weizsackerovy formule. Slupkový model jádra – popisuje jádro jako soubor vzájemně interagujících nukleonů. Kvantové stavy jádra jsou kombinací stavů jednotlivých nukleonů, které získáme řešení Schrödingerovy rovnice. Skupiny stavů s podobnou hodnotou energie tvoří slupky, někdy však může vlivem silné spin-orbitální interakce docházet k překryvu jejich energií. Mikroskopické modely – modely systému pracující s jednotlivými základními složkami tohoto systému. Například pro atomové jádro se jedná o modely, které pracují s jednotlivými protony a neutrony. Opačným přístupem je makroskopický model. Makroskopické modely – modely systému pracující s globálními parametry systému. V případě atomových jader se jedná například o modely využívající deformační parametry jader. Model je méně přesný než mikroskopický, ale umožnuje popsat i jevy, které by v mikroskopickém modelu byly příliš výpočetně náročné. Kvadrupólová deformace – deformace tělesa, například atomového jádra, do tvaru elipsoidu. Jedná se o nejjednodušší typ deformace jádra, který se liší od sférického tvaru. Rotační stavy – stavy atomového jádra či molekuly, které spočívají v aku­mu­la­ci energie rotací. Přechody mezi rotačními stavy jsou obvykle mnohem rychlejší než mezi stavy, které odpovídají změně struktury jádra.

Kapkový model

Rutherfordovi se podařilo odhadnout velikost jádra jako zhruba 10⁻¹⁴ m, tedy rozměr asi deset až sto-tisíckrát menší než rozměr atomu. První model, pomocí něhož se lidé snažili jádro popsat, byl kapkový model, který je založen na představě jádra jako nestlačitelné kapaliny, jejíž energie je dána několika mechanizmy, které jsou znázorněny na následujícím obrázku:

Znázornění jednotlivých členů v kapkovém modelu. Objemový, povrchový a cou­lom­bic­ký (elektrostatický) člen odpovídají analogii s klasickou kapalinou, symetrizační a párový člen pak představují kvantové korekce, které nelze v rámci klasické fyziky vysvětlit. Zdroj: WikiMedia.

Objemová energie je dána silnou jadernou interakcíSilná interakce – interakce krátkého dosahu, přibližně 10⁻¹⁵ m. Silná interakce je výběrová, působí jen na částice s barevným nábojem, tj. kvarky. Polními částicemi silné interakce jsou gluony (z anglického „glue“ = lepit, lepidlo). Gluony spojují kvarky do větších celků, tzv. hadronů. Nejznámější jsou proton a neutron složený ze tří kvarků. Silná interakce je odpovědná za soudržnost atomárního jádra. Polní částice mají barevný náboj a proto mohou působit samy na sebe. Barevný náboj na malých vzdálenostech (při vysokých energiích) slábne a kvarky se chovají jako volné částice. Hovoříme o tzv. asymptotické volnosti kvarků. Teorií silné interakce se nazývá kvantová chromodynamika (QCD). a působí jen na nejbližší sousedy. Povrchová energie pak odpovídá tomu, že na povrchu má nukleonNukleon – společný název pro částice jádra (protony a neutrony). Jde o baryony složené z kvarků „u“ a „d“. méně sousedů než uvnitř jádra, a lze ji chápat jako korekci objemového členu na konečnou velikost jádra. Coulombická interakce představuje odpuzování kladně nabitých protonů. Symetrizační příspěvek je dán tím, že jádro, která má výrazně více protonů než neutronů, je nestabilní vůči beta plus rozpadu, kdy se proton mění na neutron, a naopak jádra s přebytkem neutronů se rozpadají beta mínus rozpademBeta rozpad – β⁻: rozpad neutronů v atomovém jádře, jehož výsledkem je elektron, proton a elektronové antineutrino (slabě interagující antilepton).
β⁺: rozpad protonů v atomovém jádře, jehož výsledkem je pozitron (antičástice k elektronu), neutron a elektronové neutrino., při němž se neutron změní na proton. Párový člen charakterizuje tendenci stejných nukleonů tvořit pevně vázané páry, podobně jako to dělají elektrony v supravodičích. Tento model, navzdory své jednoduchosti, je schopen velice dobře vysvětlit závislost vazebné energie na počtu nukleonů. Není však schopen popsat jevy jako excitované stavy či jiné kvantové efekty.

Tvary atomového jádra

Pokud chceme model, který bude přesnější než kapkový model, bude už nevyhnutelné jej budovat principiálně v rámci kvantové teorie. Dnes existuje celá řada jaderných modelů, obecně však lze tyto modely rozdělit do dvou skupin:

V rámci tohoto bulletinu se budeme zabývat druhou skupinou, tj. popisem kolektivní deformace jader. Deformaci jádra můžeme rozvést do tzv. multipólových momentů. První multipólový moment je monopól a odpovídá jednoduše průměru nedeformovaného, tj. sférického jádra. Protože se ale atomové jádro chová jako nestlačitelná kapalina, tak monopólová deformace, která by odpovídala změně objemu jádra nenastává. Dále máme dipólovou deformaci, která odpovídá posunutí jádra v určitém směru, což ale není případ deformace jádra a změny jeho struktury. Proto nejnižší deformace, která již koresponduje se změnou struktury jádra a jeho vlastnostmi je kvadrupólová, která odpovídá deformaci do tvaru elipsoidu. Kvadrupólová deformace je z hlediska studia jaderných deformací nejdůležitější, existují však i jádra s oktupólovou a hexadekapólovou deformací.

Výše uvedené platí pro deformaci jádra jako celku. Na vyšších energiích může však také docházet k dipólové oscilaci protonů a neutronů proti sobě – tento jev se označuje jako gigantická dipólová rezonance (GDR). Kromě GDR existuje také monopólová či kvadrupólová rezonance. Příklady tvarů (pro osovou symetrii) jsou na následujícím obrázku:

Ukázka některých z možných deformací – nedeformované sférické jádro je vyo­bra­ze­no na obrázku (a). Kvadrupólově deformovaná jádra mohou být protáhlého (b) nebo zploštělého (c) tvaru. V rámci vyšších multipolarit pak máme oktupól (d), nebo hexadekapól (e). Poslední jádro (f) pak představuje kombinaci protáhlé kvad­rupólové (b) a hexadekapólové deformace. Mimo tyto deformace pak existují i další – kvadrupólové jádro může být také triaxiální, kdy má všechny tři osy různě dlouhé (na rozdíl od (b) a (c), kde mají vždy dvě osy stejnou délku). Podobně oktupól má čtyři stupně volnosti, tedy čtyři různé tvary, a hexadekapól šest. Pro čtenáře znalého kulových funkcí poznamenejme, že pro multipolaritu λ máme 2λ+1 kulových funkcí, tři stupně volnosti jsou však odstraněny vhodnou rotací jádra. Proto počínaje kvadrupólem má deformace 2λ−2 stupňů volnosti. Zdroj: Physica Scripta.

Jedním ze zajímavých důsledků kvantové teorie je, že jádro nemůže rotovat kolem své osy symetrie – takové jádro by se nijak nelišilo od nerotujícího, a proto by se nemohlo jednat o stav s vyšší energií. Pozorujeme-li tedy jádra, která akumulují energií tím, že se roztočí, jedná se o důkaz jejich deformace. Obecně platí, že čím je jádro deformovanější, tím snáze získává či ztrácí energii roztočením. Rotační stavy hrají důležitou roli také v tom, že přechody mezi nimi nastávají velice snadno a vznikají tzv. rotační pásy, tedy posloupností stavů, které lze zjednodušeně chápat jako jádro určitého tvaru/struktury, které akumuluje energii pouze svou rotací. Tato představa však není úplně správná, protože vysoké rotační stavy způsobí deformaci tvaru jádra, ale jako základní představa, vhodná pro nižší energie, nám toto postačí. Model pro popis tohoto jevu se označuje jako rigid-rotor model, který si představuje jádro jako deformovaný objekt, který rotuje. Slovo rigid, tedy tuhý, odkazuje na to, že neuvažujeme změnu tvaru způsobenou rotací. Rotační stavy jsou významné pro jádra s relativně velkou deformací, naopak pro jádra sférická se uplatňuje vibrace jádra, kdy jeho povrch osciluje kolem sférického tvaru. Většina jader se pak nachází někde mezi těmito dvěma mezními případy, tj. pozorujeme u nich jak rotační, tak i vibrační stavy.

Limitní případy kvadrupólové deformace lze znázornit pomocí tzv. Castenova trojúhelníku. Jednotlivé modely jsou zde reprezentovány pomocí tzv. grupy symetrií, které charakterizují symetrii jádra. Pro U(5) dostáváme harmonické oscilace kolem sférického tvaru s typickým spektrem harmonického oscilátoru. Tuhý rotátor (rigid-rotor model) odpovídá modelu SU(3) s energií danou velikostí momentu hybnosti, a kombinaci vibrací a rotací představuje model O(6). Zdroj: Semantic Scholar.

Většina jader má kvadrupólovou deformaci protáhlého tvaru, ale jak jsme již zmínili, existují i jádra zploštělá, případně jádra s oktupólovou a hexadekapólovou deformací. Většina jader má jen mírnou deformaci, existují však i jádra superdeformovaná, která mohou být i dvakrát delší než širší – jedná se o důsledek působení odstředivé síly, která má tendenci jádro natahovat, proto tyto výrazné deformace pozorujeme u jader ve vysokých rotačních stavech.

Jaderná deformace z pohledu slupkového modelu

Tvar deformace jader souvisí se strukturou orbitalů v rámci slupkového modelu – ukazuje se, že pokud má jádro plně obsazené slupky, což je situace analogická ideálním plynům v případě elektronových orbitalů, tak má sférický tvar. Pokud ovšem není poslední slupka plně obsazená, projeví se to kvadrupólovou deformací. Jelikož většina jader nemá uzavřené slupky, je jaderná deformace rozšířeným fenoménem napříč mnoha izotopyIzotopy – prvky, jejichž jádra mají stejný počet protonů, ale různý počet neutronů. Všechny izotopy prvku mají stejné chemické vlastnosti, liší se však od sebe svými fyzikálními vlastnostmi, například hmotností, poločasem rozpadu atd..

Schéma orbitalů slupkového modelu. V případě standardního slupkového modelu uvažujeme, že nižší slupky jsou obsazeny, a k jejich excitaci nedochází, a až vyšší slupky se zúčastňují jaderných reakcí a excitací. Toto je opět podobné tomu, když například uvažujeme u elektronových orbitalů, že jen valenční slupka zpros­třed­ko­vá­vá chemické vazby. Tento předpoklad umožnuje snížit počet nukleonů, který aktivně vystupuje ve výpočtech, a tím snížit výpočetní náročnost. Naopak tzv. no-core shell model uvažuje, že všechny nukleony jsou aktivní z hlediska excitací. Úplně vlevo na obrázku je základní stav, vedle něj pak můžeme vidět excitace spočívající v přesunu jednoho nukleonu do vyšší slupky. Ve čtvrtém a pátém sloupci pak vidíme excitaci prostřednictvím přesunu dvou nukleonů. Zdroj: Wikipedia.

Mezi nukleony působí párová interakce, která má tendenci tvořit pevně vázané dvojice – jedná se o podobnou situaci jako je tvorba Cooperových párůCooperův pár – vázaný pár fermionů (elektronů, neutronů či protonů) s boso­novými projevy. V případě elektronů vede na supravodivé vlastnosti některých materiálů za nízkých teplot. U nukleonů je vazba velmi silná a jedná se o klíčový proces zodpovědný za mnoho vlastností atomových jader. elektronů v supravodičích. Na rozdíl od elektronů je tato vazba poměrně silná, vazebná energie párů je obvykle kolem 1 MeVElektronvolt – jednotka energie. Jde o energii, kterou získá elektron urychlením v potenciálovém rozdílu jeden volt, 1 eV = 1,6×10⁻¹⁹ J. V jaderné fyzice se používají spíše větší násobky této jednotky, kiloelektronvolt keV (10³ eV), megaelektronvolt MeV (10⁶ eV), gigaelektronvolt GeV (10⁹ eV), teraelektronvolt TeV (10¹² eV) nebo petaelektronvolt PeV (10¹⁵ eV). V těchto jednotkách se také vyjadřuje hmotnost (E=mc²) a teplota (E=k_BT). Jeden elektronvolt odpovídá teplotě přibližně 11 600 K. – jádro je tedy efektivně systém na absolutní nule. Efekt párování vede k tomu, že pro sudo-sudá jádra vyžaduje excitace jedné částice do energeticky vyššího stavu relativně vysokou energii na rozbití této párové vazby, a excitace obou nukleonů zase vyžaduje poměrně vysokou energii, protože se již jedná o dvě částice. V takovýchto případech se uplatňuje jiný mechanizmus excitace, a to excitace již zmíněných rotačních a vibračních stavů – ty odpovídají korelovanému pohybu všech nukleonů a mohou nastávat i při energiích, kde jednočásticové excitace nejsou možné – právě proto nás zajímá kolektivní chování nukleonů, neboť na nízkých energiích se jedná o klíčový efekt. Párová interakce v jádrech má také vliv na vibrace jader, tento efekt označujeme jako párové vibrace (pairing vibrations).

Složitější situace nastává pro lichá jádra, kde je vždy jeden nukleon osamocen, a jeho excitace může nastat relativně snadno. Z experimentu můžeme pozorovat, že pro dvojitě magické jádro + nukleon dostáváme lehce zploštělý tvar – to by odpovídalo sférickému jádru, ke kterému je slaběji vázán nukleon. V takovém systému dochází k efektu polarizace kóru (jádro se řekne anglicky nucleus. V anglické literatuře se také objevuje termín core, který by zde označoval ono sférické „podjádro“, zatímco nucleus je toto „podjádro“ i s dodatečným nukleonem), kdy poslední nukleon způsobuje deformaci kóru, který by byl jinak sférický. Příkladem zde může být ¹⁷O, který je kvadrupólově deformován, zatímco ¹⁶O je sférický. Naopak pro jádra s počtem protonů a neutronů daleko od uzavřených slupek máme opět protáhlou deformaci.

Ilustrace jádra skládajícího se z pevně vázaného kóru, k němuž je slabě vázán
dodatečný neutron. Výsledkem je zploštělý tvar jádra. Zdroj: APS.

Příklady různě deformovaných jader. Obrázek je převzat z článku, který se věnuje kvadrupólové a hexadekapólové deformaci, proto jsou zde vyobrazena jádra s touto deformací. Jádra s uzavřenými slupkami jsou sférická, jádra s otevřenými slupkami protáhlá, a jádra blízko uzavřených slupek mají zploštělý tvar. Oktupólová a he­xa­deka­pó­lová deformace jsou pak efektem, který je dán konkrétní strukturou nuk­leo­no­vých orbitalů a představuje spíše korekci pro konkrétní izotopy než univerzální efekt. Zdroj: Kent State University.

Za hranice kvadrupólu

Dosud jsme blíže hovořili jen o kvadrupólové deformaci jader. To je dáno jednak tím, že kvadrupólová deformace je pro studium jader nejdůležitější, ale také tím, že je nejsnáze modelovatelná – například algebraický kolektivní model pro kvadrupólová jádra představuje jednoduchý, ale efektivní nástroj pro teoretické studium kvadrupólových deformací. Jeho alternativa pro vyšší multipolarity však neexistuje, a je třeba se spoléhat na jiné modely. Z experimentálního hlediska lze studovat i poměrně složité deformace – oktupólové, hexadekapólové, a případně další. Dosud nejvyšší multipolaritou, která byla uvažována je deformace šestého řádu.

Jaderná deformace izotopů ²²⁰Rn a ²²⁴Ra s oktupólovou
a hexadekapólovou deformací. Zdroj: PhysOrg.

Oktupólové deformace se obvykle vyskytují u stavů na vyšších energiích než deformace kvadrupólové a nejsou z hlediska chování jader na nízkých energiích tak podstatné. To je obecná charakteristika vyšších deformací – s rostoucí multipolaritou deformace roste odpovídající excitační energie. Z tohoto důvodu stačí k popisu chování jader obvykle pracovat jen s několika nejnižšími multipolaritami, ale v některých případech mohou být určité deformace vyšších řádů velmi podstatné.

Z hlediska orbitalů ve slupkovém modelu se ukazuje, že lze oktupólovou deformaci chápat jako důsledek excitace nukleonů z jedné slupky do slupky jiné – dochází tedy k jednočásticovým excitacím, o nichž jsme hovořili už výše. Takováto situace je umožněna silnou spin-orbitální interakcí nukleonů, která vede k tomu, že některé stavy z vyšší slupky klesnou v energii natolik, že se dostanou na úroveň nejvyšších stavů ze slupky nižší. V jádře se pak při obsazování nukleonových hladin mísí stavy různé parity. Působením spin-orbitální interakce tedy lze vysvětlit oktupólovou deformaci v základním stavu. Pro excitované stavy pak již může nastávat mísení slupek i bez přičinění této vazby, a proto oktupólovou deformaci u vyšších stavů nacházíme i u jader se slabou spin-orbitální interakcí. Typicky se jedná o aktinoidyAktinoidy – skupina prvků s atomovým číslem mezi 90 a 103, tedy za aktiniem. V zemské kůře se vyskytují ve využitelných množstvích thorium a uran. Aktinoidy jsou radioaktivní a prvky za uranem je nutné připravovat uměle, v přírodě se nevyskytují. a prvky vzácných zemin – například radonu, thoria, barya, samaria, uranu a plutonia.

Významný koncepční rozdíl mezi kvadrupólem a oktupólem je ten, že kvadrupól je symetrický vůči zrcadlení os, zatímco oktupól je antisymetrický – zrcadlení se projeví změnou znaménka deformačních momentů, říkáme že má jádro zápornou paritu. Pokud jádro není při zrcadlení ani symetrické, ani antisymetrické, není parita dobrým kvantovým číslem, tj. nejde stavy rozdělit na stavy s kladnou a zápornou paritou. Takovým případem by byla kombinace kvadrupólové a oktupólové deformace. Po oktupólové deformaci máme další deformační mód, a to je hexadekapól. Ten má opět kladnou paritu, hexadekapólově deformovaný tvar je tedy symetrický podobně jako kvadrupól. Tyto deformace byly uvažovány zejména ve vztahu ke štěpení, kde hraje jaderná deformace podstatnou roli.

Ukázka možných tvarů pro různé kombinace hexadekapólové a kvadrupólové deformace. První dva obrázky odpovídají kladné kvadrupólové deformaci (protáhlý tvar) v kombinaci s kladnou (první obrázek) a zápornou (druhý obrázek) he­xa­de­ka­pó­lo­vou deformací. Naopak druhé dva představují zápornou kvadrupólovou de­for­maci v kombinaci s kladnou (třetí obrázek) a zápornou (čtvrtý obrázek) he­xa­de­ka­pó­lo­vou deformací. Zdroj: EPJ A.

Štěpení jader jako důsledek jaderné deformace

Jedním z úspěchů teorie deformací atomových jader bylo vysvětlení štěpení – uvážíme-li, že interakce s neutronem způsobí výraznou deformaci, bude růst poměr velikosti elektrostatické energie mezi protony vůči vazbě nukleonů zprotředkované silnou interakcí. Při extrémní hodnotě deformace pak může dojít k tomu, že odpudivá elektrostatická interakce překoná vazby mezi nukleony a jádro se rozpadne. V rámci experimentů se pak skutečně ukazuje, že jádra, která se snadno štěpí, mají velké hodnoty deformace.

Deformace při štěpení jádra. Velká míra deformace způsobuje, že je pro silnou interakci obtížnější vzdorovat odpudivé elektrostatické interakci mezi protony, což vede na tendenci jádro roztrhnout – dochází ke štěpení. Vznikají tak menší jádra, tzv. štěpné fragmenty, které jsou obvykle v excitovaných stavech, a proto se dále rozpadají emisí gama záření, případně alfa nebo beta rozpadem (dle izotopu). K tomuto procesu může dojít jak spontánně, tak i interakcí s jinou částicí, typicky neutronem. Zdroj: National Science Teaching Association.

Pro štěpení jsou důležité i deformace vyšších řádů, byť hlavní roli zde hraje kvadrupólová deformace, která vede k sedlovitému tvaru na obrázku výše. Zatím nejvyšší deformace uvažovaná při studiu jaderných reakcí je 2⁶-pólová, označovaná také jako hexakontatetrapólová deformace, nicméně výsledky s touto deformací jsou poměrně nejednoznačné. Z nižších deformací se ukazuje, že štěpení preferuje oktupólovou deformaci, kterou pozorujeme například u aktinoidůAktinoidy – skupina prvků s atomovým číslem mezi 90 a 103, tedy za aktiniem. V zemské kůře se vyskytují ve využitelných množstvích thorium a uran. Aktinoidy jsou radioaktivní a prvky za uranem je nutné připravovat uměle, v přírodě se nevyskytují. – z kapkového modelu plyne, že nejpravděpodobnější je štěpení na dva stejně velké fragmenty. Provedeme-li však výpočet ze slupkového modelu, ukáže se, že bude preferovaná mírná asymetrie velikosti štěpných fragmentů. Dále také kromě binárního štěpení, kdy vznikají dva fragmenty existuje i štěpení terciální, při němž se jádro štěpí na tři lehčí jádra.

Štěpení jader může také probíhat i spontánně, má-li jádro takovou deformaci, že i malá odchylka jeho tvaru jej dostane za kritickou hodnotu deformace. Jedná se však o velmi těžká jádra – izotopy jako ²³⁵U, ²³⁸U nebo ²³²Th mají malou pravděpodobnost spontánního štěpení, ale existují pro tento rozpad doklady v horninách, kde se tyto izotopy vyskytují – spontánní štěpení poškozuje strukturu krystalické mřížky minerálu, v němž se jádra nachází. Tyto stopy je pak možno studovat a případně využít i k datování horniny. Izotopy ²⁵⁰Cm a ²⁵²Cf mají naopak poločasy poměrně krátké, a to v řádech stovek až desetitisíců let.

Nachází-li se jádro v základním či izomerickém stavu, je stabilní vůči štěpení, protože je drženo od kritické hodnoty deformace potenciálovými bariérami. Je-li však jádru dodána energie, může tyto bariéry překročit a dostat se do takové deformace, že dojde k jeho štěpení. Zdroj: PPNP. 

Odkazy