Týdeník věnovaný aktualitám a novinkám z fyziky a astronomie. Vydavatel: AGA (Aldebaran Group for Astrophysics) Číslo 14 – vyšlo 4. dubna, ročník 3 (2005) © Copyright Aldebaran Group for Astrophysics Publikování nebo šíření obsahu je zakázáno. ISSN: 1214-1674, Email: bulletin@aldebaran.cz

14/2005

Kvantová kryptografie

Vojtěch Hála

Potřeba utajovat komunikaci je stará jako lidská civilizace. Po staletí vymýšleli kryptografovéKryptografie – věda zabývající se utajováním smyslu zpráv převodem do podoby, která je čitelná jen se speciální znalostí. Slovo pochází z řečtiny: kryptós je skrytý a gráphein znamená psát. Někdy je pojem obecněji používán pro vědu o čemkoli spojeném se šiframi a je alternativou k pojmu kryptologie. stále složitější šifryŠifra – způsob změny tajné zprávy, aby její smysl mohl zjistit jen oprávněný adresát. Někdy se slovo šifra používá pro samu zašifrovanou zprávu. a kryptoanalyticiKryptoanalýza – věda zabývající se metodami zjištění původní informace ze zašifrované bez znalosti klíče. Slovo pochází z řečtiny: kryptós je skrytý a analýein znamená rozvázat, uvolnit. je s různou úspěšností luštili. V různých etapách tohoto závodu měli navrch jedni či druzí a zdálo se, že boj je svou podstatou nekonečný. Může snad existovat absolutně bezpečná šifra? Jedna taková byla již dávno nalezena, avšak brzy se ukázalo, že v praxi je možné ji používat jen velmi omezeně. Překvapivou revoluci do těchto otázek přinesla moderní fyzika. Kvantová kryptografie nabízí nepodmíněnou bezpečnostNepodmíněná bezpečnost – znamená vysokou bezpečnost utajení, která není podmíněna žádnými předpoklady na schopnosti a technické možnosti útočníka. Takovou míru bezpečnosti dnes nabízí kvantová kryptografie a Vernamova šifra., to znamená absolutní utajení zaručené přírodními zákony. Je možné, že závod bude jednou pro vždy rozhodnut ve prospěch kryptografů?

Kryptografie – věda zabývající se utajováním smyslu zpráv převodem do podoby, která je čitelná jen se speciální znalostí. Slovo pochází z řečtiny: kryptós je skrytý a gráphein znamená psát. Někdy je pojem obecněji používán pro vědu o čemkoli spojeném se šiframi a je alternativou k pojmu kryptologie. Kryptoanalýza – věda zabývající se metodami zjištění původní informace ze zašifrované bez znalosti klíče. Slovo pochází z řečtiny: kryptós je skrytý a analýein znamená rozvázat, uvolnit. Kryptologie – věda o utajování zpráv ve všech formách zahrnující kryptografii a kryptoanalýzu. Slovo pochází z řečtiny: kryptós je skrytý a logos znamená původně slovo, v přeneseném smyslu vědění. Nepodmíněná bezpečnost – znamená vysokou bezpečnost utajení, která není podmíněna žádnými předpoklady na schopnosti a technické možnosti útočníka. Takovou míru bezpečnosti dnes nabízí kvantová kryptografie a Vernamova šifra. Alice a Bob – tradiční jména pro komunikující osoby užívaná v kryptografii. Jména patrně vznikla zpříjemněním označení osob A a B. Někdy se k nim přidává Eva (eavesdropper), která se snaží narušit bezpečnost komunikace. GM počítač – Geigerův-Müllerův počítač. Jde o detektor ionizujícího záření. Plyn v detekční trubici změní po vniknutí částice svou vodivost. Detektor je citlivý na energetické fotony, alfa částice a elektrony. Není citlivý k neutronům. Radioaktivita – radioaktivní rozpad, přeměna jader nestabilních nuklidů na jiná jádra, při níž vzniká ionizující záření. Pokud se změní v jádře počet protonů, dojde ke změně prvku. Rychlost přeměny je charakterizována poločasem rozpadu. Radioaktivitu objevil v roce 1896 Henri Becquerel u solí uranu.

Vernamova šifra

V roce 1917 si Gilbert Vernam dal patentovat vylepšení dřívějších způsobů šifrování. Vezmeme jednotlivá písmena tajné zprávy a každé z nich posuneme o několik pozic v abecedě. Například první písmeno je posunuto o 5 pozic, druhé o 1, třetí o 14, čtvrté o 24, další o 9, 0, 3, 9, 19. Když při posouvání překročíme konec abecedy, pokračujeme od jejího začátku. Ze slova ALDEBARAN tak dostaneme šifrovaný text FMRCKAUJG. Posloupnost 5, 1, 14, 24, 9, 0, 3, 9, 19 je klíčem k rozluštění zprávy. Kdo ji zná, dokáže snadno posunout písmena opačným směrem a získat původní text. Bez znalosti klíče je luštění odposlechnuté zprávy krajně obtížné, i když útočník ví, o jakou šifru jde. Aby byla Vernamova šifra spolehlivá, je nutno dodržet tři požadavky:

Porušení libovolného z těchto pravidel umožní útočníkovi odhalit tajný text, postupy jsou známé. Naopak když požadavkům vyhovíme, můžeme si být bezpečností svých dat velmi jisti. Ani útok tzv. hrubou silou, neboli zkoušení všech možných klíčů, nepomůže. Jeho výsledkem budou všechny možné zprávy dané délky, mezi nimiž nepoznáme, která byla odesílána. Lze matematicky dokázat, že bez znalosti klíče nelze zašifrovanou zprávu rozeznat od náhodné posloupnosti písmen. Co víc si přát! Vernamova šifra, anglicky nazývaná one-time-pad, je dosud jedinou šifrou, jejíž neprolomitelnost byla exaktně dokázána (1949, C. E. Shannon).

  

Gilbert Sandford Vernam (1890-1960) a Charles H. Bennett (1943)

Popsané zacházení s klíčem je ale v praxi velice obtížné. Dlouhý náhodný klíč si člověk nedokáže zapamatovat, musí být zaznamenán. Jeho generování není jednoduché. Musí být zajištěno, že klíč zná pouze odesilatel a příjemce zprávy a nikdo jiný. Komunikující strany se tedy musí předem dohodnout na dlouhém klíči nějakým bezpečným způsobem a hned po odeslání první zprávy klíč zničit. Stojíme tak před problémem slepice a vejce: Abychom mohli bezpečně odeslat třeba 2 MB tajných dat, musíme předem bezpečně odeslat 2 MB dat (klíč). Vernamova šifra se tak i přes svou sílu používala jen výjimečně.

Dodejme, že Vernamova šifra funguje beze změn nad jakoukoliv množinou znaků, například jen 0 a 1. Posun písmen nad dvouznakovou abecedou je možný pouze o 1 místo nebo 0 míst, klíčem je tedy také posloupnost 0 a 1. Každý bitbit – základní jednotka klasické informace, která nabývá dvou hodnot (ano/ne), (0/1), (pravda/nepravda) atd. Násobnou jednotkou je kilobit označující 2¹⁰ = 1024 možností. Termín zavedl Claude Elwood Shanon coby zkratku anglického termínu binary digit. Fyzikální realizace bitu si žádá systém se dvěma dobře definovanými stavy – například logický obvod bez napětí a s napětím. klíče odpovídá jednomu bitu zprávy a říká, zda se tento bitbit – základní jednotka klasické informace, která nabývá dvou hodnot (ano/ne), (0/1), (pravda/nepravda) atd. Násobnou jednotkou je kilobit označující 2¹⁰ = 1024 možností. Termín zavedl Claude Elwood Shanon coby zkratku anglického termínu binary digit. Fyzikální realizace bitu si žádá systém se dvěma dobře definovanými stavy – například logický obvod bez napětí a s napětím. má při šifrování změnit nebo nechat. Tato operace se dvěma bity se jmenuje XOR a značíme ji .

x	y	x y	(x y) y = x
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	1
1	1	0	1

K dešifrování stačí vzít šifrovaný text a provést XOR znovu se stejným klíčem, což se projeví jako posun písmen opačným směrem.

Důsledky kvantové mechaniky

Může kvantová mechanika usnadnit správné zacházení s klíčem? První zajímavá vlastnost kvantového světa je, že obsahuje náhodnost. Nabízí velké množství možností jak získat dokonale náhodný klíč. Například vezmeme vzorek látky podléhající radioaktivnímu rozpaduRadioaktivita – radioaktivní rozpad, přeměna jader nestabilních nuklidů na jiná jádra, při níž vzniká ionizující záření. Pokud se změní v jádře počet protonů, dojde ke změně prvku. Rychlost přeměny je charakterizována poločasem rozpadu. Radioaktivitu objevil v roce 1896 Henri Becquerel u solí uranu. a Geiger-Müllerův počítačGM počítač – Geigerův-Müllerův počítač. Jde o detektor ionizujícího záření. Plyn v detekční trubici změní po vniknutí částice svou vodivost. Detektor je citlivý na energetické fotony, alfa částice a elektrony. Není citlivý k neutronům. a měříme velmi přesně čas mezi rozpady jader. Posledních několik číslic časového údaje lze považovat za zcela náhodná čísla. Máme tedy bezedný zdroj náhodných dat pro klíč. Jak je ale utajeně dostat od odesilatele k příjemci?

Další specialita kvantové mechaniky umožňuje vyřešit i tento problém. Provedeme-li na kvantovém systému měření, nevyhnutelně tím systém ovlivníme. Komunikující strany by toho mohly využít k rozpoznání, zda je někdo odposlouchává. V roce 1984 navrhli Charles Bennett a Gilles Brassard kryptografický protokol postavený na kvantové mechanice. Podle počátečních písmen objevitelů a podle roku objevu se protokol označuje BB84.

K přenosu informací se používají současně dvě přenosové cesty, dva kanály. Jeden je klasický, například telefon nebo Internet. Odposlouchávání na tomto kanále neprozradí nic tajného, půjde přes něj zašifrovaná zpráva a několik vedlejších informací. Druhý kanál je kvantový a slouží k domluvení tajného klíče. K přenosu informace využívá fotonů s různou polarizacíPolarizace fotonu – rovina kmitů elektrického pole, fotony jako kvanta příčného elektromagnetického vlnění mohou mít dvě nezávislé polarizace. Skutečný stav fotonu je potom lineární kombinací obou polarizačních stavů v dané bázi.. Možné jsou 4 roviny polarizací fotonuPolarizace fotonu – rovina kmitů elektrického pole, fotony jako kvanta příčného elektromagnetického vlnění mohou mít dvě nezávislé polarizace. Skutečný stav fotonu je potom lineární kombinací obou polarizačních stavů v dané bázi., dvě z nich reprezentují jedničkový bitbit – základní jednotka klasické informace, která nabývá dvou hodnot (ano/ne), (0/1), (pravda/nepravda) atd. Násobnou jednotkou je kilobit označující 2¹⁰ = 1024 možností. Termín zavedl Claude Elwood Shanon coby zkratku anglického termínu binary digit. Fyzikální realizace bitu si žádá systém se dvěma dobře definovanými stavy – například logický obvod bez napětí a s napětím., druhé dvě nulový.

Polarizační stav	Bitová hodnota	Báze
→	0	+
↑	1	+
↗	0	×
↖	1	×

Reprezentace bitů pomocí fotonů polarizovaných ve 4 rovinách.

K testování polarizace slouží měření ve dvou různých bázích, označíme je × a +. + = {|→❭, |↑❭} × = {|↗❭, |↖❭} V báziBáze – maximální množina lineárně nezávislých vektorů v lineárním vektorovém prostoru. Každý prvek prostoru lze jednoznačným způsobem napsat jako lineární kombinaci prvků baze. × může být výsledkem měření polarizace ↗ nebo ↖. V báziBáze – maximální množina lineárně nezávislých vektorů v lineárním vektorovém prostoru. Každý prvek prostoru lze jednoznačným způsobem napsat jako lineární kombinaci prvků baze. + můžeme dostat výsledek → nebo ↑. Z kvantové mechaniky plyne, že pokud zvolíme správnou báziBáze – maximální množina lineárně nezávislých vektorů v lineárním vektorovém prostoru. Každý prvek prostoru lze jednoznačným způsobem napsat jako lineární kombinaci prvků baze., výsledek měření bude odpovídat polarizaci fotonuPolarizace fotonu – rovina kmitů elektrického pole, fotony jako kvanta příčného elektromagnetického vlnění mohou mít dvě nezávislé polarizace. Skutečný stav fotonu je potom lineární kombinací obou polarizačních stavů v dané bázi.. Pokud zvolíme nesprávnou báziBáze – maximální množina lineárně nezávislých vektorů v lineárním vektorovém prostoru. Každý prvek prostoru lze jednoznačným způsobem napsat jako lineární kombinaci prvků baze., dostaneme jeden z možných výsledků zcela náhodně s pravděpodobností 0,5. Polarizace fotonuPolarizace fotonu – rovina kmitů elektrického pole, fotony jako kvanta příčného elektromagnetického vlnění mohou mít dvě nezávislé polarizace. Skutečný stav fotonu je potom lineární kombinací obou polarizačních stavů v dané bázi. se přitom zákonitě změní na tu, která byla výsledkem měření, takže není možno měřit v obou bázích současně a získat tak plnou informaci o stavu fotonu. Proč je to tak? Měření v bázi + ovlivňuje kvantový stav fotonu jako operátor vyjádřený hermitovskou maticíHermitovská matice – matice nad komplexními čísly, jejíž diagonálně sdružené prvky jsou komplexně sdružené. Taková matice má všechna vlastní čísla reálná a vlastní vektory navzájem kolmé. V kvantové mechanice se hermitovské matice používají jako operátory pozorovatelné veličiny a jejich vlastní čísla odpovídají naměřeným hodnotám., označme ji A a definujme Vlastní hodnoty +1 a −1 odpovídají pozorování fotonů v jedné a druhé polarizaciPolarizace fotonu – rovina kmitů elektrického pole, fotony jako kvanta příčného elektromagnetického vlnění mohou mít dvě nezávislé polarizace. Skutečný stav fotonu je potom lineární kombinací obou polarizačních stavů v dané bázi.. Příslušné vlastní vektoryVlastní vektor – Vektor, který je operátorem jen komplexně natahován. (1, 0) a (0, 1) odpovídají polarizačním stavům |→❭ a | ↑ ❭. Vektory z druhé báze vyjádříme takto: Měříme-li operátorem A některý z vlastních stavůVlastní stav – stav, který je vlastním vektorem příslušného operátoru. matice A, je stav pouze vynásoben reálným číslem a fyzikálně se nezmění. Změříme-li na témže stavu jinou veličinu vyjádřenou operátorem B, bude výsledkem náhodně jeden z vlastních stavůVlastní stav – stav, který je vlastním vektorem příslušného operátoru. matice B. Pravděpodobnost naměření stavu |ψ❭, když je foton například ve stavu |→❭, spočteme jako kvadrát velikosti skalárního součinuSkalární součin – funkce, která dvojici prvků Hilbertova prostoru přiřazuje komplexní číslo. V kvantové mechanice zapisujeme skalární součin Φ a Ψ jako <Φ|Ψ>. Druhá mocnina jeho absolutní hodnoty vyjadřuje pravděpodobnost, že při měření systému ve stavu Ψ zjistíme stav Φ. |❬ψ|→❭|2. Výpočtem dostaneme: Z toho vidíme, že měřením v nesprávné báziBáze – maximální množina lineárně nezávislých vektorů v lineárním vektorovém prostoru. Každý prvek prostoru lze jednoznačným způsobem napsat jako lineární kombinaci prvků baze. dostaneme zcela náhodný výsledek. Navíc foton přejde do vlastního stavuVlastní stav – stav, který je vlastním vektorem příslušného operátoru. nesprávné bázeBáze – maximální množina lineárně nezávislých vektorů v lineárním vektorovém prostoru. Každý prvek prostoru lze jednoznačným způsobem napsat jako lineární kombinaci prvků baze., a tím je ztracena veškerá informace, kterou nesl. Nešlo by nějak měřit v obou bázích současně? Tomu by odpovídal operátor vyjádřený maticovým součinem AB, kde B je měření v bázi ×. Je to ale možné jen pro nezávislé veličiny, tedy pokud AB = BA. Jak vypadá matice B? Odpovídá matici A po přechodu ke druhé báziBáze – maximální množina lineárně nezávislých vektorů v lineárním vektorovém prostoru. Každý prvek prostoru lze jednoznačným způsobem napsat jako lineární kombinaci prvků baze., tedy násobené maticí otočení o +π/4. Známe matice obou operátorů, můžeme vypočítat komutátorKomutátor – operace, která vyjadřuje, nakolik dvě jiné matice komutují. Značí se [A, B] a vypočte se jako AB−BA. Je-li násobení matic A a B komutativní, vyjde nulová matice. V kvantové mechanice je možné měřit současně jen veličiny, jejichž operátory komutují. Je-li komutátor nenulový, platí relace neurčitosti.  [A, B]. . Pro kompatibilní veličiny by musela vyjít nulová matice. Vidíme, že nelze měřit v obou bázíchBáze – maximální množina lineárně nezávislých vektorů v lineárním vektorovém prostoru. Každý prvek prostoru lze jednoznačným způsobem napsat jako lineární kombinaci prvků baze. zároveň. Musíme provést dvě měření a zvolit jejich pořadí. Stav fotonu se přitom dvakrát změní.

BB84 - Kvantový protokol výměny klíče

Pro osoby vystupující v šifrovacím protokolu se tradičně užívají jména Alice, Bob a Eva. Bob a Alice se chtějí dohodnout na tajném klíči, Eva chce klíč nepozorovaně zjistit.

Eva má jedinou možnost, jak získat tajný klíč – odposlouchávat kvantový komunikační kanál, neboli provádět měření na Aliciných fotonech. Bude měřit ve stejných dvou bázích jako Bob, protože jedině tak může z fotonů dekódovat potřebné bity klíče. Nemá ale šanci změřit jeden foton v obou bázích zároveň, jde o nekomutující operátory. Pokud Eva zvolí správnou bázi, dostane správný výsledek, stav fotonu se nezmění a nikdo nic nepozná. Pokud ale změří některý foton v nesprávné bázi, změní se jeho kvantový stav a výsledek Bobova správného měření pak bude náhodný. V 50 % těchto případů se ani tak nic neodhalí, protože Bob dostane náhodou správný výsledek. Zbývá ale 25 % pravděpodobnost, že kvůli Evinu měření dostane Bob jiný výsledek. Čím více bitů Alice a Bob veřejně porovnají, tím méně jich mohou použít pro samotné širování, ale Evě tím více komplikují život. Při n porovnaných bitech je pravděpodobnost 1−(3/4)ⁿ, že Eva bude odhalena. Už při 32 bitech je to 99,99 %.

a) Alice generuje náhodné bity. b) Alice náhodně volí báze. c) Alice kóduje bity do polarizace fotonů a odesílá je Bobovi. d) Bob náhodně volí báze. e) Bob v nich měří přijaté fotony. f) Bob dekóduje bity. g) Alice a Bob se veřejně domluví, na kterých bázích se shodli. h) Alice a Bob obětují některé bity na detekci odposlechu. i) Všechny kontrolované bity se shodují, takže Eva neposlouchá. j) Zbylé bity tvoří tajný klíč pro Vernamovu šifru.

Příklad výměny klíče podle protokolu BB84

Spolehlivost metody

Je tento postup vážně zcela spolehlivý? První problém, který Vás možná napadne, spočívá v zahození klíče v bodě 6. Znamená to, že pokud Eva na lince vytrvale odposlouchává, nemůže se Alice s Bobem na klíči nikdy dohodnout. To je ale problém spíše technický než kryptografický – nepřítel může přerušit komunikační kanál třeba i fyzickým zásahem a kryptografický protokol s tím nic nenadělá. Horší je, že mnohonásobné opakování uvedeného postupu zvyšuje Evinu nepatrnou šanci, že jednou jí odposlech projde. Je proto nutné mít dostatek kontrolních bitů.

Existuje ale i větší problém: Protokol nijak neřeší autentizaciAutentizace – ověření totožnosti osoby, s níž komunikujeme.  na veřejném kanále. Jestliže Bob například v bodě 5 sděluje něco veřejně Alici, ta si nemusí být jista, zda mluví skutečně s Bobem a ne Evou. To Evě umožnuje zcela převzít Bobovu roli a získat od Alice tajné informace místo Boba. Protokol kvantové kryptografieKryptografie – věda zabývající se utajováním smyslu zpráv převodem do podoby, která je čitelná jen se speciální znalostí. Slovo pochází z řečtiny: kryptós je skrytý a gráphein znamená psát. Někdy je pojem obecněji používán pro vědu o čemkoli spojeném se šiframi a je alternativou k pojmu kryptologie.  tuto otázku neřeší, autentizaceAutentizace – ověření totožnosti osoby, s níž komunikujeme.  není jeho součástí, a může se proto stát slabým místem konkrétní realizace.

Systém kvantové kryptografieKryptografie – věda zabývající se utajováním smyslu zpráv převodem do podoby, která je čitelná jen se speciální znalostí. Slovo pochází z řečtiny: kryptós je skrytý a gráphein znamená psát. Někdy je pojem obecněji používán pro vědu o čemkoli spojeném se šiframi a je alternativou k pojmu kryptologie.  poprvé v laboratoři vyzkoušeli Charles Bennett a John Smolin v roce 1989. Od té doby byla vymyšlena řada technických zlepšení a princip postupně přešel v technologii. Dnes už je možné systém kvantové kryptografie získat ryze komerční cestou, i když je to drahá záležitost a přenos je pomalý. K přenosu fotonů slouží optická vlákna. K měření polarizacePolarizace fotonu – rovina kmitů elektrického pole, fotony jako kvanta příčného elektromagnetického vlnění mohou mít dvě nezávislé polarizace. Skutečný stav fotonu je potom lineární kombinací obou polarizačních stavů v dané bázi.  se používá krystal CaCO₃, kterým foton buď projde rovně nebo se z původního směru odkloní. Práce s jednotlivými fotony je problematická hlavně při větší vzdálenosti uživatelů, protože je vyloučeno použití zesilovačů. Rekordní vzdálenost je dnes 122 kilometrů s použitím standardního optického vlákna. Rychlost většinou nepřesahuje 2 kbit/s.

První systém kvantové kryptografie. Kvantový kanál je dlouhý 30 cm.
Zdroj: J. A. Smolin, IBM Thomas J. Watson Research Center.

V souvislosti s kvantovou kryptografií se dostal do popředí pojem nepodmíněná bezpečnost. Značí, že bezpečnost komunikace není podmíněna žádnými předpoklady na schopnosti a technické možnosti útočníka. Bezpečnost dosud nejčastěji používaných kryptografických systémů je založena na výpočetní složitosti čili na faktu, že nejsou známy dostatečně rychlé postupy a dostatečně výkonné počítače na vyřešení určitých úloh. Kvantová kryptografie žádné takové předpoklady neobsahuje. Ani síla kvantových počítačů ani jakýchkoliv jiných systémů nemůže porušit přírodní zákony, o které se tento systém opírá. Je tu jediný tichý předpoklad, že pro Alici, Boba i pro Evu platí zákony kvantové mechaniky. To není docela samozřejmé, neboť víme, že standardní modelStandardní model – současný obecně přijímaný model částic a interakcí. Obsahuje kvarky, leptony, polní částice jednotlivých interakcí (fotony, gluony, W⁺,  W⁻, Z⁰) a Higgsovu částici jakožto zdroj hmotnosti ostatních částic a narušení symetrie elektroslabé interakce. Součástí modelu není gravitační interakce. Standardní model je vybudován na základě kvantové teorie pole.  nepopisuje všechny aspekty fyzikální reality. Teorie všehoTeorie všeho – konzistentní popis všech základních přírodních sil a hmoty v jednom rámci. Tento cíl teoretické fyziky vytyčil Albert Einstein, doposud však nebyl dosažen. Nadějným kandidátem je M-teorie (teorie superstrun).  ještě nebyla nalezena a může se ukázat, že platnost dnes známých přírodních zákonů má své meze. Přesto lze předpoklad platnosti kvantové mechaniky považovat za rozumný. Je to dosud nejpřesněji ověřená fyzikální teorie všech dob a máloco na světě je tak spolehlivé jako přírodní zákony.

Báseň o kvantové kryptografii Autor: John Preskill Alice said to her friend Eve, "Why do you practice to deceive? You know I need to talk to Bob. Without that I won't have a job. "Bob can't know where my note has been. He thinks that you are listening in. He wonders if it's safe enough For me to send him secret stuff. "And Bob's right not to trust you, Eve, With quantum tricks stuffed up your sleeve. But he thinks we can freeze you out, With quantum tricks we've learned about. "With quantum states, what we achieve Defeats whatever you conceive. So even Bob has to believe That you can't hear us, can you Eve?"

Odkazy